Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，—2），點C滿足，其中，且，

（1）求點C的軌跡方程；

（2）設點C的軌跡與雙曲線（a>0，b>0）相交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過原點，求證：為定值；

（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實軸長的取值范圍。

Answer 1

  ；為定值  ；

解析:

解：（1）設，則

∴    ∵      ∴ 

（2）聯立 

設，，則，

又  OM⊥ON    ∴     

∴ 

韋達定理代入化簡得：  

∴  為定值 

（3）∵  

∴      

  又由（2）得 

代入得          

∵      ∴

∴