Question

【題目】對(duì)于雙曲線：()，若點(diǎn)滿足，則稱在的外部；若點(diǎn)滿足，則稱在的內(nèi)部.

(1)證明：直線上的點(diǎn)都在的外部.

(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在的內(nèi)部或上，求的最小值.

(3)若過點(diǎn)，圓()在內(nèi)部及上的點(diǎn)構(gòu)成的圓弧長(zhǎng)等于該圓周長(zhǎng)的一半，求、滿足的關(guān)系式及的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) 最小值為．(3) ,的取值范圍為．

【解析】

（1）設(shè)直線上的點(diǎn)坐標(biāo)為，代入雙曲線方程檢驗(yàn)；

（2）設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)．，求得這個(gè)式子的最小值即可．

（3）由于圓和雙曲線均關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，所以只需考慮這兩個(gè)曲線在第一象限及、軸正半軸的情況．圓與雙曲線的交點(diǎn)平分該圓在第一象限內(nèi)的圓弧，它們交點(diǎn)的坐標(biāo)為．代入雙曲線方程得（*），雙曲線過點(diǎn)，得，消去得．

由得的取值范圍．

（1）設(shè)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，

得，

對(duì)于，，因此，直線上的點(diǎn)都在的外部．

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題設(shè)．

，由，得，

對(duì)于，有，于是，

因此，的最小值為．

（3）因?yàn)閳A和雙曲線均關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，所以只需考慮這兩個(gè)曲線在第一象限及、軸正半軸的情況．

由題設(shè)，圓與雙曲線的交點(diǎn)平分該圓在第一象限內(nèi)的圓弧，它們交點(diǎn)的坐標(biāo)為．…

將，代入雙曲線方程，得（*），

又因?yàn)?/span>過點(diǎn)，所以，

將代入（*）式，得．

由，解得．因此，的取值范圍為．