Question

【題目】已知函數f（x）=-，若x∈R，f（x）滿足f（-x）=-f（x）．

（1）求實數a的值；

（2）判斷函數f（x）（x∈R）的單調性，并說明理由；

（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2-4t）+f（-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）根據f（-x）=-f（x）代入求得a的值； （2）f（x）是定義域R上的單調減函數，利用定義證明即可； （3）根據題意把不等式化為t2-4t＞k，求出f（t）=t2-4t的最小值，即可得出k的取值范圍．

（Ⅰ）函數f（x）=-，x∈R，且f（-x）=-f（x），
∴-=-+，
∴a=+=+=1；
（Ⅱ）f（x）=-是定義域R上的單調減函數，證明如下：
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=（-）-（-）=-=，
由（+1）（+1）＞0，當x1＜x2時，＜，
∴-＞0，∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）是定義域R上的單調減函數；
（Ⅲ）對任意的t∈R，不等式f（t2-4t）+f（-k）＜0恒成立，
則f（t2-4t）＜-f（-k）=f（k），
根據f（x）是定義域R上的單調減函數，得t2-4t＞k，
設f（t）=t2-4t，t∈R，則f（t）=（t-2）2-4≥-4，
∴k的取值范圍是k＜-4．