Question

【題目】已知函數f（x）=ln（2ax+1）+ ﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2為f（x）的極值點，求實數a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： = ．

∵x=2為f（x）的極值點，∴f′（2）=0，即 ，解得a=0．

又當a=0時，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2為f（x）的極值點成立

（2）解：∵y=f（x）在[3，+∞）上為增函數，

∴f′（x）= ≥0，在[3，+∞）上恒成立．

①當a=0時，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上為增函數，故a=0符合題意．

②當a≠0時，由函數f（x）的定義域可知：必須2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a＞0，

∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在區間[3，+∞）上恒成立．

令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其對稱軸為 ．

∵a＞0， ，從而g（x）≥0在區間[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．

由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得 ．

∵a＞0，∴ ．

綜上所述，a的取值范圍為

【解析】（1）令f′（x）=0解得a，再驗證是否滿足取得極值的條件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上為增函數，可得f′（x）= ≥0，在[3，+∞）上恒成立．對a分類討論即可得出．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．