Question

【題目】已知的一個頂點為拋物線的頂點， ， 兩點都在拋物線上，且.

（1）求證：直線必過一定點；

（2）求證： 面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）當時， 的面積取得最小值為

【解析】試題分析：（1）由于，所以設所在的直線的方程為（），則直線的方程為.分別與拋物線方程組方程組解得A,B點坐標。由AB直線方程可寫出定點，要注意直線AB斜率不存在時情況。（2）由（1）知直線AB過定點（2，0），所以可設直線的方程為.與拋物線組方程組。由韋達定理與面積公式，可求得面積最小值。

試題解析：（1）設所在的直線的方程為（），則直線的方程為.

由，解得或，即點的坐標為

同理可求得點的坐標為

∴當，即時，直線的方程為

化簡并整理，得

當時，恒有

當，即時，直線的方程為，過點.

故直線過定點.

（2）由于直線過定點，記為點，所以可設直線的方程為.

由，消去并整理得，

∴，

于是

∴當時， 的面積取得最小值為