Question

（11分）探究：是否存在常數a、b、c使得等式1·2²+2·3²+…+n(n+1)²=(an²+bn+c)
對對一切正自然數n均成立，若存在求出a、b、c，并證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有
證明見解析。

先令n=1,2,3建立關于a,b,c的三個方程，解出a,b,c的值.然后再證明時，也成立.由于是與n有關的證明問題，可以考慮用數學歸納法進行證明.
設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有
于是，對n=1,2,3下面等式成立1·2²+2·3²+…+n(n+1)²=
記S_n=1·2²+2·3²+…+n(n+1)²設n=k時上式成立，即S_k= (3k²+11k+10)
那么S_k+1=S_k+(k+1)(k+2)²=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)²= (3k²+5k+12k+24)
=［3(k+1)²+11(k+1)+10］也就是說，等式對n=k+1也成立.
綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切正自然數n均成立.