Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的增函數，函數y=f（x﹣1）的圖象關于點（1，0）對稱，若對任意的x，y∈R，等式f（y﹣3）+f（ ）=0恒成立，則 的取值范圍是（ ）
A.[2﹣ ，2+ ]
B.[1，2+ ]
C.[2﹣ ，3]
D.[1，3]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數y=f（x）的圖象可由y=f（x﹣1）的圖象向左平移1個單位得到，
由于y=f（x﹣1）的圖象關于點（1，0）對稱，
則y=f（x）的圖象關于原點對稱，
則f（x）為奇函數，即有f（﹣x）=﹣f（x），
則等式f（y﹣3）+f（ ）=0恒成立即為
f（y﹣3）=﹣f（ ）=f（﹣ ），
又f（x）是定義在R上的增函數，則有y﹣3=﹣ ，
兩邊平方可得，（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，
即有y=3﹣ 為以（2，3）為圓心，1為半徑的下半圓，
則 = 可看作是半圓上的點與原點的連線的斜率，
如圖，kOA= =3，取得最大，過O作切線OB，設OB：y=kx，
則由d=r得， =1，解得，k=2 ，
由于切點在下半圓，則取k=2﹣ ，即為最小值．
則 的取值范圍是[2﹣ ，3]．
故選C．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．