Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xetx﹣ex+1，其中t∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若方程f（x）=1無(wú)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=1，可得x=ex（1﹣t）＞0，

∴原方程無(wú)負(fù)實(shí)數(shù)根，

故有 =1﹣t．

令g（x）= ，則g′（x）= ，

∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，

∴函數(shù)g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)g（x）的最大值為g（e）= ，

∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋ī仭蓿? ]；

方程f（x）=1無(wú)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于1﹣t（﹣∞， ]，

∴1﹣t＞ ，

∴t＜1﹣ ，

∴當(dāng)t＜1﹣ 時(shí)，方程f（x）=1無(wú)實(shí)數(shù)根；

（2）解：f′（x）=etx[1+tx﹣e（1﹣t）x]

由題設(shè)，x＞0，f′（x）≤0，

不妨取x=1，則f′（1）=et（1+t﹣e1﹣t）≤0，

t≥1時(shí)，e1﹣t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1．

①t≤ ，x＞0時(shí)，f′（x）=etx[1+tx﹣e（1﹣t）x]≤ （1+ ﹣ ），

由（1）知，x﹣ex+1＜0，∴1+ ﹣ ＜0，∴f′（x）＜0，

∴函數(shù)f（x）是（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù)；

② ＜t＜1， ＞1，∴ ln ＞0，

令h（x）=1+tx﹣e（1﹣t）x，則h（0）=0，h′（x）=（1﹣t）[ ﹣e（1﹣t）x]

0＜x＜ ln ，h′（x）＞0，

∴h（x）在（0， ln ）上單調(diào)遞增，

∴h（x）＞h（0）=0，此時(shí)，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0， ln ）上單調(diào)遞增，有f（x）＞f（0）=0與題設(shè)矛盾，

綜上，當(dāng)t≤ 時(shí)，函數(shù)f（x）是（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù)

【解析】（1）先確定原方程無(wú)負(fù)實(shí)數(shù)根，令g（x）= ，求出函數(shù)的值域，方程f（x）=1無(wú)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于1﹣t（﹣∞， ]，從而求出t的范圍；（2）利用函數(shù)f（x）是（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù)，確定t＜1，再分類討論，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．