Question

已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，則AB與平面ADC所成角的正弦值為______．

Answer 1

設AB=1，作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標系，
得下列坐標：
O（0，0，0），D（

3

2

，0，0），B（0，

1

2

，0），C（0，

3

2

，0），
A（0，0，

3

2

）
∴

AB

=（0，

1

2

，-

3

2

），

AD

=(

3

2

，0，-

3

2

)，

AC

=(0，

3

2

，-

3

2

)
設平面ADC的法向量為

n

=(x，y，z)，則

3 x 2 - 3 2 z=0 3 2 y- 3 2 z=0

∴可取

n

=(

3

，1，

3

)
∴AB與平面ADC所成角的正弦值為|cos＜

n

，

AB

＞|=|

n • AB

| n || AB |

|=|

1 2 - 3 2

1× 7

|=

7

7

故答案為：

7

7