Question

【題目】設函數f（x）=log2x+ax+b（a＞0），若存在實數b，使得對任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，則t的最小值是（ ）
A.2
B.1
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數f（x）=log2x+ax+b（a＞0），

由y=log2x，y=ax+b在（0，+∞）遞增，

可得f（x）在（0，+∞）遞增，

由對任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，

可得﹣1﹣a≤f（x）≤1+a恒成立，

即有﹣1﹣a≤f（x）min=f（t）=log2t+at+b，①

1+a≥f（x）max=log2（t+2）+a（t+2）+b，

即為﹣1﹣a≤﹣log2（t+2）﹣a（t+2）﹣b，②

①+②可得﹣2﹣2a≤log2t+at+b﹣log2（t+2）﹣a（t+2）﹣b，

化為log2 ≥﹣2，

解得 ≥ ，

解得t≥ ，

則t的最小值為 ，

故選：D．

【考點精析】掌握函數的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．