Question

3．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點恰是橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的一個焦點，過點T（p，0）且傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）求線段|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點恰是橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的一個焦點，即$\frac{p}{2}=1，p=2$，即可；
（2）由直線L的傾斜角求得斜率，由點斜式得到直線L的方程，和拋物線方程聯立后利用根與系數關系得到A，B的橫坐標的和，代入拋物線的弦長公式得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點恰是橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的一個焦點，∴$\frac{p}{2}=1，p=2$，
∴拋物線的方程為：y²=4x．
（2））∵直線L傾斜角為60°，∴其斜率為tan60°=$\sqrt{3}$，又拋物線的焦點坐標為T（1，0），
則直線L的方程為：y-0=$\sqrt{3}$（x-1））．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得3x²-10x+3=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{10}{3}+2=\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了拋物線的定義和方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常采用聯立方程組，化為關于x的方程后利用一元二次方程根與系數的關系解決，是中檔題．