Question

【題目】已知點A（2sinx，﹣cosx）、B（ cosx，2cosx），記f（x）= ．
（1）若x0是函數y=f（x）﹣1的零點，求tanx0的值；
（2）求f（x）在區間[ ， ]上的最值及對應的x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= =（2sinx，﹣cosx）（ cosx，2cosx）=2 sinxcosx﹣2cos2x= sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣ ）﹣1，

若x0是函數y=f（x）﹣1的零點，

則f（x0）﹣1=2sin（2x0﹣ ）﹣1﹣1=0，即sin（2x0﹣ ）=1，

故2x0﹣ =2kπ+ ，則x0=kπ+ ，k∈Z，

則tanx0=tan（kπ+ ）=tan = ．

（2）解：當x∈[ ， ]時，2x﹣ ∈[ ， ]，

當2x﹣ = 或 時，即x= 或x= ，函數f（x）取得最小值，此時f（x）=2sin ﹣1=2× ﹣1=1﹣1=0，

當2x﹣ = 時，即x= ，函數f（x）取得最大值，此時f（x）=2sin ﹣1=2﹣1=1．

【解析】（1）根據向量數量積的坐標公式結合三角函數的輔助角公式將函數進行化簡，解方程求出x0的值即可．（2）求出2x﹣ 的范圍，結合三角函數的最值性質進行求解即可．