Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD．
（1）求證：平面PAB⊥平面PDC
（2）在線段AB上是否存在一點G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ．若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD=2，∴ ，

∴PA2+PD2=AD2∴PD⊥AP，

又∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴AB⊥PD，

又∵AP∩AP=A，且AP、AB平面PAB，

∴PD⊥平面PAB，

又PD平面PDC，∴平面PAB⊥平面PDC

（2）解：如圖，取AD的中點O，連接OP，OF，

∵PA=PD，∴PO⊥AD．

又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PO⊥平面ABCD，

而O，F分別為AD，BD的中點，∴OF∥AB，

又ABCD是正方形，∴OF⊥AD，

以O為原點，射線OA，OF，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，

則有A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1），

若在AB上存在點G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ，連接PG、DG，

設G（1，a，0）（0≤a≤2），

則 =（1，0，1）， =（﹣2，﹣a，0），

由（2）知平面PDC的一個法向量為 =（1，0，﹣1），

設平面PGD的法向量為 =（x，y，z）．

則 ，即 ，．

令y=﹣2，得 =（a，﹣2，﹣a），

∴|cos＜ ， ＞|= = ，解得a= ，

∴a= ，此時 ，

∴在線段AB上存在點G（1， ，0）使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ， ．

【解析】（1）推導出PD⊥AP，AB⊥PD，由此能證明平面PAB⊥平面PDC．（2）取AD的中點O，連接OP，OF，PO⊥AD，以O為原點，射線OA，OF，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，由此利用向量法能求出在線段AB上存在點G（1， ，0）使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ， ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．