Question

【題目】【河南省2017屆高中畢業年級考前預測數學（理）】已知圓與直線相切，設點為圓上一動點， 軸于，且動點滿足，設動點的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）直線與直線垂直且與曲線交于兩點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）先利用直線和圓相切求出圓的方程，再利用平面向量共線和“相關點法”求曲線的方程；（2）利用兩直線間的垂直關系設出直線方程，再聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系和三角形的面積公式得到表達式，再利用基本不等式求其最值.

試題解析：（1）設動點， ，因為軸于，所以，

由題意得： ，

所以圓的方程為.

由題意， ，所以，

所以，即

將代入圓，得動點的軌跡方程.

（2）由題意可設直線，設直線與橢圓交于， ，

聯立方程，得，

，解得，

，

又因為點到直線的距離， ，

.

（當且僅當，即時取到最大值）

∴面積的最大值為．