Question

AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的任意一條與x軸不垂直的弦，O是橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則K_AB•K_OM的值為（　　）

A．e-1

B．1-e

C．e2-1

D．1-e2

Answer 1

設直線為：y=kx+c
聯立橢圓和直線

y=kx+c x2 a2 + y2 b2 =1

消去y得
b²x²+a²（kx+c）²-a²b²=0，即 （b²+k²a²）x²+2a²kcx+a²（c²-b²）=0
所以：x₁+x₂=-

2a2kc

b2+k2a2

所以，M點的橫坐標為：M_x=

1

2

（x₁+x₂）=-

a2kc

b2+k2a2

又：y₁=kx₁+c
y₂=kx₂+c
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2c=

2b2c

b2+k2a2

所以，點M的縱坐標M_y=

1

2

（y₁+y₂）=

b2c

b2+k2a2

所以：Kom=

My

Mx

=

b2c b2+k2a2

a2kc b2+k2a2

=-

b．2

a2k

所以：
k_AB•k_OM=k×（-

b．2

a2k

）=-

b．2

a2

=e²-1