Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直觀圖及三視圖如圖所示，D為AC的中點，則下列命題是假命題的是（　　）

• A、直三棱柱的體積V=4
• B、直三棱柱的表面積為8+4

  2

• C、AB₁∥平面BDC₁
• D、A₁C⊥平面BDC₁

Answer 1

考點：簡單空間圖形的三視圖

專題：空間位置關系與距離

分析：利用體積公式計算棱柱的體積，可判斷A是否正確；
根據棱柱表面積公式計算棱柱的表面積，由此判斷B是否正確．
利用面面平行的性質判斷C是否正確；
根據線面垂直的判定定理證明A₁C⊥平面BDC₁，

解答：解：由三視圖知：直三棱柱的高為2，底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，
∴體積V=

1

2

×2×2×2=4，
∴A正確；
由直三棱柱的結構特征知，棱柱的底面周長為2+2+2

2

=4+2

2

，
∴直三棱柱的表面積S=2×

1

2

×2×2+（4+2

2

）×2=12+4

2

，
故B錯誤；
取A₁C₁中點O，連接OB₁，AO，
∵D為AC的中點，
∴四邊形DAOC₁為平行四邊形，
∴AO∥C₁D，又四邊形BDOB₁為平行四邊形，
∴BD∥OB₁，
∴平面AOB₁∥平面BDC₁，AB₁?平面AOB₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
故C正確；
∵由三視圖知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，
∴BC₁⊥A₁C；
∵由側視圖知△ABC為等腰直角三角形，D為AC的中點，
∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴A₁C⊥BD，又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面BDC₁．
故D正確；
故選B．

點評：本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，空間線面關系的判斷，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．