Question

【題目】已知函數， 在和處取得極值，且，曲線在處的切線與直線垂直．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）證明關于的方程至多只有兩個實數根（其中是的導函數， 是自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求，根據韋達定理及列出關于 的方程組，進而可得結果；（Ⅱ）圓方程等價于，令，研究函數 的單調性，討論與兩種情況分別證明即可.

試題解析：（Ⅰ） ，因為在和處取得極值，

所以和是方程的兩個根，則， ，

又，則，所以.

由已知曲線在處的切線與直線垂直，所以可得，

即，由此可得解得

所以

（Ⅱ）對于，

（1）當時，得，方程無實數根；

（2）當時，得，令，

，

當時， ；

當或時， ；當時， ．

∴的單調遞減區間是和，單調遞增區間是，

函數在和處分別取得極小值和極大值．

， ，

對于，由于恒成立，

且是與軸有兩個交點、開口向上的拋物線，

所以曲線與軸有且只有兩個交點，從而無最大值， ．

若時 ，直線與曲線至多有兩個交點；

若 ，直線與曲線只有一個交點；

綜上所述，無論取何實數，方程至多只有兩實數根．