Question

【題目】已知橢圓的右焦點，橢圓的左，右頂點分別為．過點的直線與橢圓交于兩點，且的面積是的面積的3倍．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若與軸垂直，是橢圓上位于直線兩側的動點，且滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）為定值.

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得，則橢圓的方程為．

(2)設出直線的 斜率，聯立直線與橢圓的方程可得直線的斜率為定值.

試題解析：

解法一：（Ⅰ）因為的面積是的面積的3倍，

所以，即，所以，所以，

則橢圓的方程為．

（Ⅱ）當，則，

設直線的斜率為，則直線的斜率為，

不妨設點在軸上方，，設，

則的直線方程為，代入中整理得

，

；

同理．

所以，，

則，

因此直線的斜率是定值．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）依題意知直線的斜率存在，所以設方程：代入中整理得

，設，

所以，，

當，則，不妨設點在軸上方，，

所以，整理得，

所以 ，

整理得，

即，所以或．

當時，直線過定點，不合題意；

當時，，符合題意，

所以直線的斜率是定值．