【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的極值點的個數；
（2）若有兩個極值點
，證明：
.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求出函數的導數，通過討論
的范圍，得到函數的單調區間，從而求出函數的極值點；
（2）由（1）可知，當且僅當
時，
有兩個極值點
，且為方程
的兩根，
，求出
，根據函數的單調性證明即可.
（1）
.
①當
時，
.
當
時，
，所以在
上單調遞增；
當
時，
，所以在
上單調遞減.
即函數只有一個極大值點
，無極小值點.
②當時，
，
令
，得
.
當
時，，
所以在
上單調遞增；
當
時，，
所以在
上單調遞減.
即函數有一個極大值點
，有一個極小值點
.
③當
時，
，此時
恒成立，
即在
上單調遞增，無極值點.
綜上所述，當時，有且僅有一個極大值點，即只有1個極值點；
當時，有一個極大值點和一個極小值點，即有2個極值點；
當時，沒有極值點.
（2）由（1）可知，當且僅當時，
有兩個極值點，且為方程的兩根，
即，
所以
.
令
，
則
恒成立，
所以
在
上單調遞增，
所以
，
即
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是定義在
上的函數，記
，
的最大值為
.若存在
，滿足
，則稱一次函數
是的“逼近函數”，此時的稱為在上的“逼近確界”.
（1）驗證：
是
的“逼近函數”；
（2）已知
.若是的“逼近函數”，求
的值；
（3）已知
的逼近確界為
，求證：對任意常數，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是數列
的前n項和，對任意
都有
，（其中k、b、p都是常數）.
（1）當
、
、
時，求；
（2）當
、
、
時，若
、
，求數列的通項公式；
（3）若數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”。當、、時，
.試問：是否存在這樣的“封閉數列”.使得對任意.都有
，且
.若存在，求數列的首項
的所有取值的集合；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的右焦點為
，離心率為
，過點且與
軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
.
（1）求橢圓
的方程;
（2）若
上存在兩點
，橢圓上存在兩個
點滿足：
三點共線，
三點共線，且
，求四邊形
的面積的最小值.
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