Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=(a_n-1).
（1）求a₁,a₂;
(2)證明：數列{a_n}是等比數列；
（3）求a_n及S_n.

Answer 1

（1）a₁=-，a₂=（2）證明見解析，（3）a_n=-(-)ⁿ,S_n=

（1）解 ∵a₁=S₁=（a₁-1），∴a₁=-.
又a₁+a₂=S₂=(a₂-1),∴a₂=.
(2)證明 ∵S_n=（a_n-1），
∴S_n+1=（a_n+1-1），兩式相減，
得a_n+1=a_n+1-a_n,即a_n+1=-a_n,
∴數列{a_n}是首項為-，公比為-的等比數列.
（3）解 由（2）得a_n=-·(-)^n-1=-(-)ⁿ,S_n=.