Question

已知函數．利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：對于定義域中給定的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n∈N^*），…如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}．
（1）求實數a的值；
（2）若x₁=1，求（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）的值；
（3）設T_n=（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）（n∈N^*），試問：是否存在n使得T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006成立，若存在，試確定n及相應的x₁的值；若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可知，當x≠a時方程（1+a）x=a²+a-1無解，所以對于任意x∈R，（1+a）x=a²+a-1無解．由此能求出a．
（2）當a=-1時，對于x₁≠-1，有，，同理得x_n+2=x_n對一切n∈N^*都成立，即數列{x_n}是一個以2為周期的周期數列．由此能求出（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）的值．
（3）由，知T_k+T_k+1+T_k+2+T_k+3=0（k∈N^*），若T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006，則T_n+T_n+1+T_n+2=2006（n∈N^*），由此能求出當n=4k，x₁=2005或n=4k-2，x₁=-2007時T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006．
解答：解：（1）根據題意可知，x_i≠a（i=1，2，3，…），
則x≠a，
且方程無解，--（2分）
即當x≠a時方程（1+a）x=a²+a-1無解，
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以對于任意x∈R，（1+a）x=a²+a-1無解．
則a+1=0，且 a²+a-1≠0，
故a=-1．-----（6分）
（2）當a=-1時，對于x₁≠-1，
有，，
同理得x_n+2=x_n對一切n∈N^*都成立，
即數列{x_n}是一個以2為周期的周期數列．--（10分）
則，
故-----（12分）
（3）由（2）易知：-----（14分）
則T_k+T_k+1+T_k+2+T_k+3=0（k∈N^*），
若T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006，
則T_n+T_n+1+T_n+2=2006（n∈N^*），
又-----（18分）
故當n=4k，x₁=2005或n=4k-2，x₁=-2007時，
T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006-（20分）
點評：本題考查函數與數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．