Question

（1）已知函數f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，試求a的取值范圍；
②寫出一組數a，x₀（x₀≠3，保留4位有效數字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）若曲線y=x+（p≠0）上存在兩個不同點關于直線y=x對稱，求實數p的取值范圍；
（3）當0＜a＜1時，就函數y=a^x與y=log_ax的圖象的交點情況提出你的問題，并加以解決．（說明：①函數f（x）=xlnx有如下性質：在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．解題過程中可以利用；②將根據提出和解決問題的不同層次區別給分．）

Answer 1

解：（1）①
②當a=1.1，x₀=2時，f（x₀）＜0成立
（2）設曲線上兩個對稱點為（m，n），（n，m），
于是

所以p＜0；
（3）提出的問題是：當a∈（0，e^-e）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；當a∈[e^-e，1）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點．
問題解決如下：顯然，當0＜a＜1時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象在直線y=x上有一個交點．
若曲線y=a^x上有兩個點（m，n），（n，m）關于直線y=x對稱，則???mnlna=nlnn=mlnm，
即m，n是函數y=xlnx（0＜x＜1）與直線y=c（c為常數）的交點的橫坐標．
因為函數f（x）=xlnx有如下性質：在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
于是時f（x）=xlnx取得最小值，即，由其圖象可得到，當時，m，n成對出現，且．…
當lna＜-e，即a∈（0，e^-e）時，點（m，n），（n，m）存在，即函數y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；
當lna≥-e，即a∈[e^-e，1）時，點（m，n），（n，m）不存在，函數y=a^x與y=log_ax的圖象只有1個交點．
分析：（1）①根據f（3）＜0，a＞1構造不等式組，解不等式組，可得a的取值范圍；
②由①中結論，可得a取（1，1.445）中的任意值都可以，進而給出合適的x₀，即可得到答案．
（2）設曲線上兩個對稱點為（m，n），（n，m），可得p=-2m²，進而得到實數p的取值范圍；
（3）提出的問題是：當a∈（0，e^-e）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；當a∈[e^-e，1）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點，進而根據（1）（2）的結論可進行推導論證．
點評：本題考查的知識點是指數函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，反函數，具有相當的主觀性，難度也比較大．