Question

點(diǎn)P（x₀，y₀）是曲線C：y=

1

x

（x＞0）上的一個(gè)動點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線與x軸、y周分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．給出三個(gè)命題：①PA=PB；②△OAB的面積為定值；③曲線C上存在兩點(diǎn)M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．其中真命題的個(gè)數(shù)是

3

．

Answer 1

分析：曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為

x

x02

+y-

2

x0

=0，求出A（2x₀，0），B（0，

2

x0

），P（x0，

1

x0

），由此得到PA=PB，△OAB的面積S=

1

2

×2x0×

2

x0

=2；由題意知曲線C上存在兩點(diǎn)M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．

解答：解：∵y=

1

x

（x＞0），
∴y′=-

1

x2

，
∴曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為：y-

1

x0

=-

1

x02

（x-x₀），
整理，得

x

x02

+y-

2

x0

=0，
∴A（2x₀，0），B（0，

2

x0

），P（x0，

1

x0

），
∴PA=PB=

x02+ 1 x02

，故①正確；
∵A（2x₀，0），B（0，

2

x0

），
∴△OAB的面積S=

1

2

×2x0×

2

x0

=2，故②正確；
mo=mn并且mo垂直于mn時(shí)，曲線C上存在兩點(diǎn)M，N，使得△OMN為等腰直角三角形，故③正確．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．