Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短軸長為4，F₁，F₂分別是橢圓C的左，右焦點，直線y=x與橢圓C在第一象限內的交點為A，△AF₁F₂的面積為2

6

，點P（x₀，y₀）是橢圓C上的動點
（1）求橢圓C的方程
（2）若∠F₁PF₂為鈍角，求點P的橫坐標x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定b的值，再利用△AF₁F₂的面積為2

6

，及a²=b²+c²，可確定橢圓C的方程；
（2）若∠F₁PF₂為鈍角，則

PF1

•

PF2

＜0，由此可求點P的橫坐標x₀的取值范圍．

解答：解：（1）∵2b=4，∴b=2，①
由題意，設A（x，x）（x＞0），則

x2

a2

+

x2

b2

=1，②
∵△AF₁F₂的面積為2

6

，∴cx=2

6

，③
由①，②，③及a²=b²+c²，解得a=2

3

，
∴橢圓C的方程：

x2

12

+

y2

4

=1
（2）∠F₁PF₂為銳角，則

PF1

•

PF2

＜0

∴x

2 0

+y

2 0

＜8，
∵

x 2 0

12

+

y 2 0

4

=1，

∴x

2 0

＜6，
∴-

6

＜x0＜

6

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查數量積運算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．