Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）上的一點（m，1）到焦點的距離為

5

4

．點P（x₀，y₀）是拋物線上任意一點（除去頂點），過點M₁（0，-1）與P的直線和拋物線交于點P₁，過點M₂（0，1）與的P直線和拋物線交于點P₂．分別以點P₁，P₂為切點的拋物線的切線交于點P′．
（I）求拋物線的方程；
（II）求證：點P′在y軸上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義可得 1+

1

2

p=

5

4

，可求拋物線的方程
（II）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）由導數的幾何意義可求以點P₁為切點的拋物線的切線方程為y-y₁=2x₁（x-x₁），結合y1=x12，可得y=2x1x-x12，P₂為切點的拋物線的切線方程為y=2x2x-x22，從而可求P′，由直線PM₁的方程及拋物線方程可求y=

y0+1

x0

x-1則由方程的根與系數關系可得，x1=

1

x0

，同理可得x2=-

1

x0

可證

解答：（Ⅰ）解：由題意得  1+

1

2

p=

5

4

，
∴p=

1

2

所以拋物線的方程為y=x²…（6分）
（II）證明：設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）因為y′=2x
則以點P₁為切點的拋物線的切線方程為
y-y₁=2x₁（x-x₁）      又y1=x12，所以y=2x1x-x12…（9分）
同理可得以點P₂為切點的拋物線的切線方程為y=2x2x-x22
由

y=2x1x-x12 y=2x2x-x22

解得x=

x1+x2

2

…（11分）
又過點P（x₀，y₀）與M₁（0，-1）的直線的斜率為k1=

y0+1

x0

所以直線PM₁的方程為y=

y0+1

x0

x-1
由

y= y0+1 x0 x-1 y=x2

得x2-

y0+1

x0

x+1=0
所x₀x₁=1，即x1=

1

x0

…（13分）
同理可得直線PM₂的方程y=

y0-1

x0

x+1
由

y= y0-1 x0 x+1 y=x2

得   x2-

y0-1

x0

x-1=0  
 所以x₀x₂=-1，即x2=-

1

x0

則x1+x2=

1

x0

+(-

1

x0

)=0，即P′得橫坐標為0，
所以點P′在y軸上…（15分）

點評：本題主要考查了利用拋物線的性質求解拋物線的方程，直線與拋物線相交關系的應用，導數的幾何意義的應用，屬于綜合試題