Question

【題目】已知，是函數（其中常數）圖象上的兩個動點，點，若的最小值為0，則函數的最大值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先推出f（x）的圖象關于直線x＝a對稱，然后得出直線PA，PB分別與函數圖象相切時，的最小值為0，再通過導數的幾何意義得切線的斜率，解出a＝1，結合圖象可得x＝1時，f（x）的最大值為．

解：A，B是函數f（x）（其中a＞0）圖象上的兩個動點，

當x＜a時，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，

∴函數f（x）的圖象關于直線x＝a對稱．

當點A，B分別位于分段函數的兩支上，

且直線PA，PB分別與函數圖象相切時，的最小值為0，

設PA與f（x）＝﹣e﹣x相切于點A（x0，y0），

∴f′（x）＝e﹣x，∴kAP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，

∵的最小值為0，∴⊥，

∴kPA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，

∴a＝1，∴f（x）max．

故答案為：