Question

【題目】如圖，正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中點．

（I）求證：EM⊥AD；
（II）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值；
（III）在線段EC上是否存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為45°，若存在，求出 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵EA=EB，M是AB的中點，∴EM⊥AB，
∵平面ABE⊥平面ABCD，
平面ABE∩平面ABCD=AB，EA平面ABE，
∴EM⊥平面ABCD，AD平面ABCD，
∴EM⊥AD．
（Ⅱ）解：∵EM⊥平面ABCD，∴EM⊥MC，∵△ABC是正三角形，
∴MC⊥AB．∴MB、MC、ME兩兩垂直．
建立如圖所示空間直角坐標系M﹣xyz．

則M（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0， ，0），E（0，0， ），
=（﹣1， ，0）， =（﹣1，0， ），
設 =（x，y，z）是平面BCE的一個法向量，
則 ，
令z=1，得 =（ ），
∵y軸與平面ABE垂直，∴ =（0，1，0）是平面ABE的一個法向量．
cos＜ ＞= = = ，
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值為 ．
（III）假設在線段EC上存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為45°．
=（1，0， ）， =（0， ），
設 = =（0 ，﹣ ），（00≤λ≤1），
則 = ，
∵直線AP與平面ABE所成的角為45°，
∴sin45°=|cos＜ ＞|= = = ，
由0≤λ≤1，解得 ，
∴在線段EC上存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為45°，且 = ．
【解析】（Ⅰ）推導出EM⊥AB，從而EM⊥平面ABCD，由此能證明EM⊥AD．（Ⅱ）推導出EM⊥MC，MC⊥AB，從而MB、MC、ME兩兩垂直，建立空間直角坐標系M﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣C的余弦值．（III）求出 和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在線段EC上存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為45°，且 = ．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．