Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數f(x)的極值點的個數；

（2）若f(x)有兩個極值點證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求得函數的定義域和導函數，對分成三種情況進行分類討論，判斷出的極值點個數.

（2）由（1）知，結合韋達定理求得的關系式，由此化簡的表達式為，通過構造函數法，結合導數證得，由此證得成立.

（1）函數的定義域為

得，

（i）當時；，

因為時，時，，

所以是函數的一個極小值點；

（ii）若時，

若，即時，，

在是減函數，無極值點.

若，即時，

有兩根，

不妨設

當和時，，

當時，，

是函數的兩個極值點，

綜上所述時，僅有一個極值點；

時，無極值點；時，有兩個極值點．

（2）由（1）知，當且僅當時，有極小值點和極大值點，且是方程的兩根，

，則

所以

設，則，又，即，

所以

所以是上的單調減函數，

有兩個極值點，則