Question

【題目】已知點是橢圓的右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，當直線過的下頂點時，的斜率為，當直線垂直于的長軸時，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當時，求直線的方程；

（Ⅲ）若直線上存在點滿足成等比數列，且點在橢圓外，證明：點在定直線上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）根據題意得：，，及，解得，進而可得橢圓的方程；

（Ⅱ）分兩種情況：當直線與軸重合時，得，不合題意；當直線與軸不重合時，設直線的方程為，，聯立直線與橢圓得方程，結合根與系數關系得，由，得，組成方程組解得，進而可得直線的方程；

（Ⅲ）設，分兩種情況討論，當直線與軸重合時，當直線與軸不重合時，由，解得，所以點在定直線上．

解：（Ⅰ）由題設：，，

解得：，

所以橢圓的方程為：．

（Ⅱ）當直線與軸重合時，可得，不合題意；

當直線與軸不重合時，設直線的方程為：，

設，聯立，

消去整理得：，

有①，②，

由，得③，

聯立①②③得，

解得：，

所以直線的方程為：．

（Ⅲ）設，

當直線與軸重合時，因為點在橢圓外，所以同號，

由，

得，解得：，

當直線與軸不重合時，

由（Ⅱ）知，，

因為，，，

因為點在橢圓外，所以同號，

由，

得，

整理得：，

即，

解得：，

代入直線方程，得：，

所以點在定直線上．