Question

（本題滿分14分）

已知點M在橢圓＋＝1(a＞b＞0)上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．

（1）若圓M與y軸相切，求橢圓的離心率；

（2）若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）解：由題意可知，點M的坐標為(c，c)，∴，          …………2分

     即，即，即，即，

即，即e⁴－3e²＋1＝0，∴，……5分

∴e＝，又e∈(0，1)，∴e＝。            ………………………………7分

（2）解：把x＝c代入橢圓方程＋＝1，得y_M＝±。

因為△ABM是邊長為2的正三角形，

所以圓M的半徑r＝2．M到y軸的距離d＝．

∴r＝，d＝c，

即c＝，＝2．   …………………………………………………………………11分

又因為a²－b²＝c²．

所以a²－b²＝3．

代入得a²－2a－3＝0，a＝3，a＝－1(舍去)．

b²＝2a＝6．

所以所求的橢圓方程為＋＝1．…………………………………………………14分