Question

如圖：矩形ABCD，PD⊥平面ABCD，PD=DA，E、F分別是CD、PB的中點．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）（理）若AB=

2

BC，求二面角P-AC-D的大小．
     （文）求PD與平面PAB所成的角．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，分別求出直線所在的向量與平面內兩條相交直線所在的向量，再利用向量的運算得到其數量積均為0，進而得到線面垂直．
（2）（理）由題意可設|AB|=

2

，BC=1，過點D作DH⊥AC于H，連PH，根據線面垂直可證明∠PHD為二面角的平面角θ，再利用技術三角形的有關知識求出答案即可．
（3）過D作DM⊥PA于M（M為PA的中點），根據線面垂直的偶的定理可得：AB⊥平面PAD，再結合面面垂直的判定定理可得：平面PAB⊥平面PAD，然后結合面面垂直的性質定理可得：DM⊥面PAB，
得到∠DPM為PD與平面PAB所成的角，進而利用解三角形的有關知識求出答案即可．

解答：解：（1）以D為原點，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

設|AB|=a，|PD|=|DA|=1，所以E（0，

a

2

，

1

2

），F（

1

2

，

a

2

，

1

2

），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，a，0），
所以

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

PA

=(a，1，-1)，

AB

=(a，0，0)，
所以

EF • PA =0 EF • AB =0

，
所以EF⊥面PAB．
（2）（理）由題意可設|AB|=

2

，BC=1，
過點D作DH⊥AC于H，連PH，
因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥PD，
所以∠PHD為二面角的平面角θ，
在Rt△PDH中，|PD|=1，|DH|=

|CD|•|AD|

|AC|

=

6

3

，
所以tan∠PHD=

PD

DH

=

1

6 3

=

6

2

，
所以θ=arctan

6

2

，即二面角的大小為arctan

6

2

．
（文）過D作DM⊥PA于M（M為PA的中點），
因為四邊形ABCD為矩形，
所以AB⊥AD，
又因為PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥PD，
所以根據線面垂直的判定定理可得：AB⊥平面PAD．
因為AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD，
又因為平面PAB∩平面PAD=AP，DM⊥PA，DM?平面PAD，
所以DM⊥面PAB，
所以∠DPM為PD與平面PAB所成的角，
在Rt△PDH中，|PD|=1，|PM|=

2

2

，
所以PD與平面PAB所成的角為

π

4

．

點評：本題考查利用向量的數量積證明線面垂直，以及求二面角的平面角與線面角，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵，此題也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題．