Question

（2013•湛江一模）如圖，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A₁DE
（1）當平面A₁DE⊥平面BCD時，求直線CD與平面A₁CE所成角的正弦值；
（2）設M為線段A₁C的中點，求證：在△ADE翻轉過程中，BM的長度為定值．

Answer 1

分析：（1）利用線面、面面垂直的判定和性質定理及線面角的定義即可求出；
（2）由二面角A₁-EC-D為定值，且與二面角M-EC-B互補，及MO、BO為定值，即可得證．

解答：解：（1）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，可得ED²=2²+2²=8=CE²，CD²=4²=16，∴CE²+ED²=CD²，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．
又∵平面A₁DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A₁DE，∴CE⊥DA₁．
又∵DA₁⊥A₁E，A₁E∩EC=E，∴DA₁⊥平面A₁CE，∴∠A₁CE即為直線CD與平面A₁CE所成的角．
在Rt△A₁CD中，sin∠A₁CD=

A1D

DC

=

2

4

=

1

2

．
（2）如圖所示，
由（1）可知：CE⊥平面A₁ED，∴∠A₁ED為A₁-EC-D的二面角的平面角，且為45°．
取CE的中點O，連接BO、MO，由三角形的中位線定理可知：MO∥AE，MO=

1

2

AE=1，∴MO⊥CE；
在等腰Rt△EBC中，CO=OE=

2

，則BO⊥CE．，∴∠MOB為二面角M-EC-B的平面角；
由圖形可知：二面角A₁-EC-D與二面角M-EC-B互補，因此二面角M-EC-B的平面角為135°．
又OB=

2

，在△MOB中，由余弦定理可得MB²=12+(

2

)2-2×1×

2

cos135°=5．
∴MB=

5

．

點評：熟練掌握線面、面面垂直的判定和性質定理及線面角、二面角的定義及求法是解題的關鍵．