Question

如圖在矩形ABCD中，AB=2+

3

，BC=1，E為線段DC上一動點，現將△AED沿AE折起，使點D在面ABC上的射影K在直線AE上，當E從D運動到C，則K所形成軌跡的長度為（　　）

• A．

  5π

  12

• B．

  π

  12

• C．

  6 + 2

  4

• D．

  6 + 2

  2

Answer 1

分析：根據題意點D在面ABC上的射影K在直線AE上，即D′K⊥AE．因為Rt△AD'K的斜邊AD'=1為定長，所以K的軌跡是以AD′為直徑的一段圓弧D′K．因此，求出圓心角∠D′OK的大小，結合弧長公式加以計算，即可求得K所形成軌跡的長度．

解答：解：由題意，D′K⊥AE，所以K的軌跡是以AD′為直徑的一段圓弧D′K，設AD′的中點為O，
∵長方形ABCD′中，AB=2+

3

，BC=AD'=1，
∴tan∠D′AC=

D′C

AD′

=2+

3

，
∵∠D′AC是銳角，且tan

5π

12

=2+

3

，
∴可得∠D′AC=

5π

12

因此，∠D'OK=2∠D′AC=

5π

6

，
可得K所形成軌跡，也就是弧D'K的長度為L=

5π

6

×

1

2

=

5π

12

故選：A

點評：本題以平面圖形的翻折為載體，考查立體幾何中的軌跡問題，考查弧長公式的運用，解題的關鍵是利用Rt△AD'K的斜邊AD'為定長，從而可知直角頂點K的軌跡是以AD′為直徑的一段圓弧D′K．