Question

正三棱錐中，,的中點分別為，且，則正三棱錐外接球的表面積為                    .

Answer 1

解析試題分析：

∵三棱錐S-ABC正棱錐，∴SB⊥AC（對棱互相垂直）∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球
∴2R=，∴R=，∴S=4πR²=4π•()² =12π，故答案為．
考點：本題主要考查正三棱錐及球的幾何特征，考查空間想象能力。
點評：基礎題，三棱錐的外接球的表面積的計算，需要求出球的半徑，將三棱錐擴展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關鍵