Question

【題目】已知，在三棱柱中，，，，如圖.

（1）求證：平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出四邊形是菱形，從而，由，，得，由此能證明平面．

（2）由，得平面，從而平面，設(shè)，分別以直線，為，軸，以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線（過(guò)的中點(diǎn)）為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出平面與平面所成銳二面角的余弦．

解：（1）∵，∴四邊形是菱形，∴.

∵，，∴.

∵和是平面內(nèi)兩相交直線，

∴平面.

（2）∵，和是平面兩相交直線，

∴平面.∴平面.

設(shè)，分別以直線、為、軸，以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線（過(guò)的中點(diǎn)）為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，∵，

∴，，.

∴，.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，

即，，∴.

不妨取，得.

由以上可知，平面平面，

設(shè)中點(diǎn)為，則且平面，.

∴.

所以平面與平面所成銳二面角的余弦為.