Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：(Ⅰ) 函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需有兩個(gè)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理與函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，在上單調(diào)遞減，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，要證，只需證，即證，利用導(dǎo)數(shù)可得，從而可得結(jié)論.

詳解： (Ⅰ)∵，∴.

設(shè)，則.

令，解得.

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴.

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

不妨設(shè)，則.

∴當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，在上單調(diào)遞減.

下面先證，只需證.

∵，得，∴.

設(shè)，，

則，∴在上單調(diào)遞減，

∴，∴，∴.

∵函數(shù)在上也單調(diào)遞減，∴.

∴要證，只需證，即證.

設(shè)函數(shù)，則.

設(shè)，則，

∴在上單調(diào)遞增，∴，即.

∴在上單調(diào)遞增，∴.

∴當(dāng)時(shí)，，則，

∴，∴.