Question

已知函數f(x)＝4x³－3x²cosθ＋，其中x∈R，θ為參數，且0≤θ≤2π．
(1)當時，判斷函數f(x)是否有極值；
(2)要使函數f(x)的極小值大于零，求參數θ的取值范圍；
(3)若對(2)中所求的取值范圍內的任意參數θ，函數f(x)在區間(2A－1，A)內都是增函數，求實數A的取值范圍．

Answer 1

(1) 無極值；(2) θ的取值范圍為；(3) A的取值范圍是．

解析試題分析：(1)由題得f(x)＝4x³ ，由冪函數性質知，在R上為增函數，無極值；(2)對原函數求導且令，解得或，當時，可求得極小值，令得，當，所求極小值不會小于零，可得范圍；(3) 函數f(x)在區間(2A－1，A)內都是增函數，則A需滿足不等式組或，解得的范圍．
解：(1)當時，f(x)＝4x³，則f(x)在(－∞，＋∞)內是增函數，故無極值．  2分
(2)f′(x)＝12x²－6xcosθ，
令f′(x)＝0，得x₁＝0，．  3分
當時，容易判斷f(x)在(－∞，0]，上是增函數，在上是減函數，
故f(x)在處取得極小值  5分
由，即，可得．
由于0≤θ≤2π，故或．  7分
同理，可知當時，f(x)在x＝0處取得極小值，此時，當f(0)>0時，，與相矛盾，所以當時，f(x)的極小值不會大于零．
綜上，要使函數f(x)在(－∞，＋∞)的極小值大于零，θ的取值范圍為．  9分
(3)由(2)，知函數f(x)在區間(－∞，0]與 內都是增函數，由題設：函數在(2A－1，A)內是增函數，則A需滿足不等式組或 (其中θ∈時，)．  12分
從而可以解得A≤0或，
即A的取值范圍是．  14分
考點：函數的極值，由三角函數求角的范圍，函數的單調性．