Question

【題目】已知數列的前項和為，（為常數）對于任意的恒成立．

（1）若，求的值；

（2）證明：數列是等差數列；

（3）若，關于的不等式有且僅有兩個不同的整數解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）將代入已知等式即可求得結果；

（2）利用可得到遞推關系，將換成后兩式作差可得到，從而證得結論；

（3）將不等式化為，令，則不等式的正整數解只有兩個，通過分析可知除以外只能有個符合要求；當時，通過導數可求得，分別討論、和時的取值，得到符合題意的范圍后，解不等式求得結果.

（1）當時，，，解得：；

（2）由（1）知：，

，，

，則，

，又，，，

∴對任意，成立，數列是等差數列；

（3）由（2）可知：，即，

即，，

令，題目條件轉化為滿足不等式的正整數解只有兩個，

若符合，則，即；若符合，則，；

若符合，則為任意實數，即除以外只能有個符合要求.

當，時，，解得：，

令，則，

令，則，

當時，恒成立，在上單調遞增，

，，

當時，至少存在、、滿足不等式，不符合要求；

當時，對于任意，都不滿足不等式，也不滿足，

此時只有、滿足；

當時，只有符合；

故，即，解得：或；

的取值范圍是.