Question

已知三點A（0，4）、B（0，-4）、C（7，-3），△ABC外接圓為圓M（圓心M）．
（1）求圓M的方程；
（2）若N（-7，0），R在圓M上運動，平面上一動點P滿足

RP

=4

PN

，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）中A（0，4）、B（0，-4），可得△ABC外接圓M的圓心在x軸上，設M（a，0），利用MA=MC，求出圓心坐標與半徑，即可求圓M的方程；
（2）中設所求的點的坐標為（x，y），然后利用向量的關系式

RP

=4

PN

，點隨著點動的思想得到軌跡方程．

解答：解：（1）∵A（0，4）、B（0，-4）
∴△ABC外接圓M的圓心在x軸上，
設M（a，0），則r²=a²+16=（a-7）²+（0+3）²，
∴a=3，圓的半徑為5，
∴圓M的標準方程：（x-3）²+y²=25；
（2）設P（x，y），R（x₀，y₀），則
∵

RP

=4

PN

，
∴（x-x₀，y-y₀）=4（-7-x，-y），
∴x₀=28-5x，y₀=5y，
∵（x₀-3）²+y₀²=25，
∴（28-5x-3）²+（5y）²=25
化簡可得動點P的軌跡方程：（x+5）²+y²=1．

點評：本題主要是考查了圓的方程的求解和動點的軌跡方程的求解的綜合運用，考查學生的計算能力，正確運用點隨著點動的思想是關鍵．