Question

下列幾個(gè)命題：①直線y=x與函數(shù)y=sinx的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)；②函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；③函數(shù)y=2^x-x²與y=(

1

2

)x-x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；④若函數(shù)y=lg（x²+2x+m）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]；⑤若定義在R上的奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)．其中正確的命題為

 

（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：①令f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0，因此函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，又f（0）=0，可得當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）≠0，因此直線y=x與函數(shù)y=sinx的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)．
②函數(shù)y=tanx在區(qū)間(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)(k∈Z)上單調(diào)遞增，而在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²與f（-x）=

1

2x

-x2，可得f（x）≠f（-x），圖象關(guān)于y軸不對(duì)稱(chēng)；
④若函數(shù)y=lg（x²+2x+m）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]；
⑤若定義在R上的奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，是周期函數(shù)．

解答：解：①令f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0，因此函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，又f（0）=0，
∴當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）≠0，因此直線y=x與函數(shù)y=sinx的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，因此不正確．
②函數(shù)y=tanx在區(qū)間(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)(k∈Z)上單調(diào)遞增，而在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增函數(shù)，故不正確；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²與f（-x）=

1

2x

-x2的圖象關(guān)于y軸不對(duì)稱(chēng)；
④若函數(shù)y=lg（x²+2x+m）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]；
⑤若定義在R上的奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，是周期函數(shù)．
其中正確的命題為 ③④⑤．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于難題．