Question

下列幾個命題：
 （1）函數f（x）=xⁿ+a^x-1（n∈Z，a＞0，a≠1）的圖象必過點（1，2）；
 （2）f（x）=

x2-4

+

4-x2

是偶函數，但不是奇函數；
 （3）函數y=f（x）值域是[-3，3]，則函數y=f（x-2）值域是[-1，5]；
 （4）設函數y=f（x）定義域為R，則函數y=f（1-x）與y=f（x-1）圖象關于y軸對稱；
 （5）y=|3-x²|圖象與直線y=a有k個公共點，則k的值不可能是1；
 上述五個命題中所有正確的命題序號是

①④⑤

．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=2即可判斷（1）正確；
（2）依題意，可求得x=±2，從而可得f（x）=

x2-4

+

4-x2

是偶函數，也是奇函數；
（3）利用函數的性質可知，左右平移不改變其值域，從而可知（3）的正誤；
（4）利用1-x+（x-1）=0，即可判斷（4）的正誤；
（5）在同一直角坐標系中作出曲線y=|3-x²|與直線y=a的圖形，分析即可判其正誤．

解答：解：（1）∵f（x）=xⁿ+a^x-1（n∈Z，a＞0，a≠1），
∴f（1）=1ⁿ+a^1-1=1+1=2，
故函數的圖象必過點（1，2），即（1）正確；
（2）由

x2-4≥0 4-x2≥0

得4≤x²≤4，即x²=4，x=±2，
∵f（2）=f（-2）=0，f（-2）=-f（2）=0，
∴f（x）=

x2-4

+

4-x2

是偶函數，也是奇函數，故（2）錯誤；
（3）因為函數y=f（x-2）是由函數y=f（x）向右平移2個單位得到的，圖象上下沒有平移，值域不變，是[-3，3]，故（3）錯誤；
（4）∵1-x+（x-1）=0，函數y=f（x）定義域為R，
∴函數y=f（1-x）與y=f（x-1）圖象關于y軸對稱，（4）正確；
（5）∵y=|3-x²|，直線y=a有k個公共點，其圖象如下，
由圖知，當a＜0時，無公共點；
當a=0或a＞3時有兩個公共點；
當0＜a＜3時有四個公共點；
∴y=|3-x²|圖象與直線y=a有k個公共點，k的值不可能是1，（5）正確．
綜上所述，上述五個命題中所有正確的命題序號是①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查的奇偶性與對稱性，考查直線與與二次曲線的相交問題，著重考查分析、推理與運算能力，屬于中檔題．