Question

已知數列{a_n}各項均不為0，其前n項和為S_n，且對任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p為大于1的常數），則a_n=（　　）

• A．(

  2p-1

  p

  )n-1
• B．p(

  2p-1

  p

  )n-1
• C．pⁿ
• D．p^n-1

Answer 1

分析：由（1-p）S_n=p-pa_n得（1-p）S_n+1=p-pa_n+1兩式相減得a_n+1=pa_n，又把n=1代入（1-p）S_n=p-pa_n得（1-p）a₁=p-pa₁，解得a₁=p，故數列是以p為首項，p為公比的等比數列，由等比數列的通項公式可求答案．

解答：解：∵對任意n∈N^*（1-p）S_n=p-pa_n，①
∴（1-p）S_n+1=p-pa_n+1②
②-①得，∴（1-p）a_n+1=-pa_n+1+pa_n
即a_n+1=pa_n，，把n=1代入（1-p）S_n=p-pa_n得（1-p）a₁=p-pa₁，解得a₁=p
故數列{a_n}是以p為首項，p為公比的等比數列．（p為大于1的常數）
故數列的通項公式為a_n=p×p^n-1=pⁿ，
故選C．

點評：本題為數列通項公式的求解，通過題意得出數列是以p為首項，p為公比的等比數列是解決問題的關鍵，屬中檔題．