Question

（2012•資陽一模）已知數列{a_n}各項為正數，前n項和Sn=

1

2

an(an+1)．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b1=1，bn+1=bn+3an，求數列{b_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，令cn=

3an

2 b 2 n

，數列{c_n}前n項和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）已知前n項和Sn=

1

2

an(an+1)，當n≥2時，利用an=Sn-Sn-1=

1

2

an(an+1)-

1

2

an-1(an-1+1)，了點數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）由bn+1=bn+3an得bn+1-bn=3an=3n，再用疊加法求數列{b_n}的通項公式；
（3）cn=

3an

2 b 2 n

=

3n

2×[ 1 2 (3n-1)]2

=

2×3n

(3n-1)2

，當n≥2時，cn=

2×3n

(3n-1)2

＜

2×3n

(3n-1)(3n-3)

=

2×3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

．從而可求數列{c_n}前n項和為T_n，即可證得結論．

解答：解：（1）當n=1時，a1=S1=

1

2

a1(a1+1)，
∴

a

2 1

=a1，又a₁＞0，故a₁=1．（1分）
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2

an(an+1)-

1

2

an-1(an-1+1)，（2分）
化簡得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由于a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，故數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列，
∴a_n=n．（4分）
（2）由bn+1=bn+3an得bn+1-bn=3an=3n，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+3+…+3^n-1=

1

2

(3n-1)．（8分）
（3）cn=

3an

2 b 2 n

=

3n

2×[ 1 2 (3n-1)]2

=

2×3n

(3n-1)2

，（9分）
當n=1時，c1=

2×31

(31-1)2

=

3

2

＜2；
當n≥2時，cn=

2×3n

(3n-1)2

＜

2×3n

(3n-1)(3n-3)

=

2×3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

．（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=

3

2

+(

1

3-1

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=2-

1

3n-1

＜2．（12分）

點評：本題重點考查等差數列的通項，考查疊加法求和，考查放縮法的運用，解題的關鍵是疊加法求和．