Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內有一點P（1，-1），F為橢圓的右焦點，在橢圓上有一動點M，則|MP|+|MF|的取值范圍為______．

Answer 1

設F'為橢圓的左焦點，連結MF'，作過P、F'的直線交橢圓于
M₁、M₂兩點，如圖所示
∵

x2

4

+

y2

3

=1中，a=2，b=

3

，
∴c=

a2-b2

=1，可得F（1，0），F'（-1，0）．
由橢圓的定義，得|MF|+|MF'|=2a=4，
∴|MP|+|MF|=|MP|+（4-|MF'|）=4+（|MP|-|MF'|）
由平面幾何知識，得-|PF'|≤|MP|-|MF'|≤|PF'|，
∴當M與M₁重合時，|MP|-|MF'|達到最大值|PF'|；當M與M₂重合時，|MP|-|MF'|達到最小值-|PF'|．
由|PF'|=

(1+1)2+(-1-0)2

=

5

，可得|MP|-|MF'|的最大值為

5

，最小值為-

5

．
∴|MP|+|MF|=4+（|MP|-|MF'|）的取值范圍為[4-

5

，4+

5

]．
故答案為：[4-

5

，4+

5

]．