Question

【題目】已知a，b是正實數，設函數f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．
（Ⅰ）設h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的單調區間；
（Ⅱ）若存在x0 ， 使x0∈[ ， ]且f（x0）≤g（x0）成立，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+a﹣xlnb
∴h′（x）=lnx+1﹣lnb
由h′（x）＞0得x＞ ，
∴h（x）在（0， ）上單調遞減，（ ，+∞）上單調遞增．
2）由 ＜ 得 ＜7
（i）當 ≤ ≤ ，即 ≤ ≤ 時，
h（x）min=h（ ）=﹣ +a
由﹣ +a≤0得 ≥e，
∴e≤ ≤
（ii）當 ＜ 時，a＞
∴h（x）在[ ， ]上單調遞增．
h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a≥ （ln ﹣lnb）+a= ＞ = b＞0
∴不成立
（iii）當 ＞ ，即 ＞ 時，a＜ b
h（x）在[ ， ]上單調遞減．
h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a＜ （ln lnb）+a= ＜ = ＜0
∴當 ＞ 時恒成立
綜上所述，e≤ ＜7

【解析】（I）根據已知求出h（x）=f（x）﹣g（x）的解析式，求出其導函數，分別求出導函數為正，為負時x的取值范圍，進而可得h（x）的單調區間；（Ⅱ）根據區間的定義可得 ＜ ，由f（x0）≤g（x0），結合（I）中函數的單調性，分類討論，最后綜合討論結果，可得 的取值范圍．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．