Question

已知數列{a_n}滿足遞推關系式：a_n+2a_n-a_n+1²=tⁿ（t-1），（n∈N^*），且a₁=1，a₂=t．（t為常數，且t＞1）
（1）求a₃；
（2）求證：{a_n}滿足關系式a_n+2-2ta_n+1+ta_n=0，（n∈N^*；
（3）求證：a_n+1＞a_n≥1（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）由a₃a₁-a₂²=t（t-1）和a₁=1，a₂=t
∴a₃=2t²-t…（4分）
（2）由a_n+2a_n-a_n+1²=tⁿ（t-1），（n∈N^*）
得a_n+1a_n-1-a_n²=t^n-1（t-1）（n≥2），
再由上兩式相除得到：∴a_n+2a_n-a_n+1²=ta_n+1a_n-1-ta_n²
∴a_n（a_n+2+ta_n）=a_n+1（a_n+1+ta_n-1）
∴
即為常數列
∴
而a₃+ta₁=2t²∴．
即a_n+2-2ta_n+1+ta_n=0．…（9分）
（3）由t＞1知：a_n+2a_n＞a_n+1²≥0
∴a_n+2a_n＞0
故a_n+2與a_n同號
而a₁=1＞0，a₂=t＞0．
故a_n＞0．
又
即
∴
∴a_n+1＞a_n
∴a_n≥1
∴a_n+1＞a_n≥1．…（14分）
分析：（1）由a₃a₁-a₂²=t（t-1）和a₁=1，a₂=t，能求出a₃．
（2）由a_n+2a_n-a_n+1²=tⁿ（t-1），（n∈N^*）得a_n+1a_n-1-a_n²=t^n-1（t-1）（n≥2），所以a_n+2a_n-a_n+1²=ta_n+1a_n-1-ta_n²，，由此能夠證明a_n+2-2ta_n+1+ta_n=0．
（3）由t＞1知：a_n+2a_n＞a_n+1²≥0，所以a_n+2a_n＞0，故a_n+2與a_n同號，由此能夠證明a_n+1＞a_n≥1．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意不等式性質的合理運用．