Question

下列四個結論：
①冪函數y=x^α的圖象與與直線y=x可能有三個交點；
②若b≤0，則函數y=a^x+b-1（a＞0，a≠1）的圖象不經過第一象限；
③若x+x^-1=3，則x

1

2

-x-

1

2

=1；
④函數y=

x-4

mx2+4mx+3

定義域為R，則m的取值范圍為[0，

3

4

）；
其中正確結論個數為（　　）

Answer 1

分析：①：可舉例驗證①是否正確
②：分類討論a的范圍，結合指數函數的圖象變換可驗證②是否正確
③：把x

1

2

-x-

1

2

平方后，化簡，再開方，可驗證③是否正確
④：把條件轉化，即得mx²+4mx+3≠0在R上恒成立，分類討論，可得m的范圍，即可驗證④是否正確

解答：解：對于①：y=x³與y=x有三個交點∴①正確
對于②：當a＞1時，圖象過第一象限∴②不正確
對于③：∵x+x^-1=3
∴(x

1

2

-x-

1

2

) 2=x+x-1-2=3-2=1
∴x

1

2

-x-

1

2

=± 1
∴③不正確
對于④：∵y=

x-4

mx2+4mx+3

的定義域為R
∴mx²+4mx+3≠0對x∈R恒成立
∴當m=0時，得3≠0，顯然成立，∴m=0符合題意
當m≠0時，由題意知

m＞0 16m2

-13m＜0
解得0＜m＜

3

4

∴當原函數定義域為R時，m的取值范圍為[0，

3

4

)
∴④正確
綜上所述，正確的結論有①④
故選A

點評：本題考查指數函數、冪函數的圖象，指數運算以及函數定義域問題，要求對指數函數冪函數的圖象及圖象變換熟練掌握，對恒成立問題要注意分類討論．屬簡單題