Question

設函數f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和在[0，π]上的單調遞增區間；
（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且a²+b²-c²≥ab，求f（C）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用數量積公式，再利用二倍角、輔助角公式將函數化簡，從而可求函數f（x）的最小正周期，利用正弦函數的單調性，即可求得函數在[0，π]上單調遞增區間；
（Ⅱ）根據a²+b²-c²≥ab，可得0＜C≤

π

3

，利用f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1，即可求f（C）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴函數f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π…（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），則-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
∴函數在[0，π]上單調遞增區間為[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．      …（6分）
（Ⅱ）∵a²+b²-c²≥ab，∴cosC≥

1

2

∵0＜C＜π，∴0＜C≤

π

3

…（9分）
∵f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1，∴

π

6

＜2C+

π

6

≤

5π

6

∴當C=

π

6

時，f（C）_max=3，當C=

π

3

時，f（C）_min=2
∴f（C）∈[2，3]…（12分）

點評：本題考查向量的數量積，考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查余弦定理的運用，屬于中檔題．