Question

設函數f(x)=a?b，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的圖象經過點(

π

4

，2)．
（1）求實數m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是平面向量數量積的運算及三角函數的周期及其求法，
（1）由

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），我們易出求f（x）=

a

•

b

的解析式（含參數m），同由y=f（x）的圖象經過點(

π

4

，2)，將點的坐標代入可以得到一個關于m的方程，解方程即可求出m的值．
（2）由（1）的結論，我們可以寫出函數f（x）的解析式，利用輔助角公式易將其轉化為一個正弦型函數，然后根據正弦型函數的周期T=

2π

ω

，求出f（x）的最小正周期．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x，
∵圖象經過點(

π

4

，2)，
∴f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，
解得m=1．
（2）當m=1時，
f(x)=1+sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∴T=

2π

2

=π

點評：函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．