Question

設函數f(x)=

(a-2)x，(x≥2) ( 1 2 ) x   -1，(x＜2)

，an=f(n)，若數列{a_n}是單調遞減數列，則實數a的取值范圍為（　　）

• A．（-∞，2）
• B．（-∞，

  13

  8

  ]
• C．（-∞，

  7

  4

  ）
• D．[

  13

  8

  ，2)

Answer 1

分析：根據題意可知函數f（x）在x∈N₊上是減函數，則有f（1）＞f（2）＞f（3）＞…，結合函數f（x）的圖象可得關于a的限制條件，解出即可．

解答：解：數列{a_n}是單調遞減數列，即有a₁＞a₂＞a_3＞…＞a_n＞a_n+1＞…，
也即f（1）＞f（2）＞f（3）＞…，
所以函數f（x）在x∈N₊上是減函數，
故有

a-2＜0 ( 1 2 )1-1＞(a-2)×2

，解得a＜

7

4

．
所以實數a的取值范圍是（-∞，

7

4

）．
故選C．

點評：本題考查函數與數列的單調性問題，本題結合函數圖象便于分析解決，注意數形結合思想的運用．